| 高校数学の要点整理 |
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| 2．三角方程式・不等式 |
| 三角方程式・不等式はほとんどがつぎの三つのパターンの何れかで解く |
| ことができます。 |
| （1）与えられた三角方程式・不等式をｓｉｎθかｃｏｓθかｔａｎθに統一する。 |
| （２）与えられた三角方程式・不等式を合成してｒｓｉｎ（θ＋α）の形に変形する。 |
| （３）与えられた三角方程式・不等式が和の形式なら積の形式に変形する。 |
| （１）の例：０≦θ＜２πのとき、方程式ｃｏｓ２θ-３ｃｏｓθ＋２＝０ を解け。 |
| ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ２θ-１を方程式に代入して整理すると |
| ２ｃｏｓ２θ－３ｃｏｓθ＋１＝０ |
| よって （ｃｏｓθ-１）（２ｃｏｓθ-１）＝０ |
| ゆえに ｃｏｓθ＝１ または ｃｏｓθ＝１／２ |
| ０≦θ＜２π であるから |
| ｃｏｓθ＝１のときθ＝０ |
| ｃｏｓθ＝１／２のときθ＝π／３、５／３π |
| よって θ＝０、π／３、５／３π |
| （２）の例 |
| 〔ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝（ａ２＋ｂ２）１／２ｓｉｎ（θ＋α） |
| ただし、ｃｏｓα＝ａ／（ａ２＋ｂ２）１／２、ｓｉｎα＝ｂ／（ａ２＋ｂ２）１／２〕 |
| 方程式ｓｉｎｘ＋３１／２ｃｏｓｘ＝２１／２ （０≦ｘ＜２π）を解け。 |
| 左辺を変形して |
| ２ｓｉｎ（ｘ＋π／３）＝２１／２ |
| よって ｓｉｎ（ｘ＋π／３）＝１／２１／２ |
| ０≦ｘ＜２πのとき π／３≦ｘ＋π／３＜７π／３ |
| ゆえに ｘ＋π／３＝３π／４、 ９π／４ |
| よって ｘ＝５π／１２、２３π／１２ |
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3. 加法定理から導かれる種々の公式 加法定理は次のようになります。 ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ … ① ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ … ② ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ … ③ ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ … ④ まず ｔａｎ（α＋β）＝ｓｉｎ（α＋β）／ｃｏｓ（α＋β） ＝（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）／（ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ） 上式の分母分子をｃｏｓαｃｏｓβで割ると ｔａｎ（α＋β）＝（ｔａｎα＋ｔａｎβ）／（１－ｔａｎαｔａｎβ）… ⑤ が得られます。同様にして ｔａｎ（α－β）＝（ｔａｎα－ｔａｎβ）／（１＋ｔａｎαｔａｎβ）… ⑥ また、①式でβ＝αと置くと ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα …⑦ ③式でβ＝αと置くと ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α ＝１－２ｓｉｎ２α …⑧ ＝２ｃｏｓ２α－１ …⑨ となり、⑦、⑧、⑨は倍角の公式として知られています。 α＋β＝Ａ，α－β＝Ｂとおくと α＝（Ａ＋Ｂ）／２，β＝（Ａ－Ｂ）／２ ここで、①＋②より ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ＝２ｃｏｓ（Ａ+B）／２ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）／２ … ⑩ 同様にして、①－②より ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎ（Ａ+B）／２ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／２ … ⑪ ③＋④より ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝２ｃｏｓ（Ａ+B）／２ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／２ … ⑫ ③－④より ｃｏｓＡ－ｃｏｓＢ＝－２ｓｉｎ（Ａ+B）／２ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）／２ … ⑬ ⑩から⑬は三角方程式を解くときにも使います。
（問題）次の三角方程式を解け。
ｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎ３θ＋ｓｉｎ４θ＝０
（０≦θ＜π）
ｓｉｎθ＋ｓｉｎ４θ＝２ｓｉｎ｛（θ+４θ）／２｝ｃｏｓ｛（θ－４θ）／２｝
＝－２ｓｉｎ（５θ／２）ｃｏｓ（３θ／２）
ｓｉｎθ＋ｓｉｎ４θ＝２ｓｉｎ｛（２θ+３θ）／２｝ｃｏｓ｛（２θ－３θ）／２｝
＝－２ｓｉｎ（５θ／２）ｃｏｓ（θ／２）
ゆえに
ｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎ３θ＋ｓｉｎ４θ
＝－２ｓｉｎ（５θ／２）｛ｃｏｓ（３θ／２）＋ｃｏｓ（θ／２｝
＝－２ｓｉｎ（５θ／２）２ｃｏｓ（３θ／２+θ／２）ｃｏｓ（３θ／２－θ／２）
＝－２ｓｉｎ（５θ／２）２ｃｏｓ（２θ）ｃｏｓθ＝０
ゆえに ｓｉｎ（５θ／２）＝０または２ｃｏｓ（２θ）＝０またはｃｏｓθ＝０
０≦５θ／２＜５π／２より
５θ／２＝０、π、２π ∴θ＝０、２π／５、４π／５
０≦２θ＜２πより ２θ＝π／２、３π／２ ∴θ＝π／４、３π／４
ｃｏｓθ＝０より θ＝π／２
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