高校数学の要点整理　　数学　Ⅱ
図形と方程式
基本事項は省略し、少しテクニックを要する問題を考えてみましょう。
（問１）　３ｘ^２－２ｘｙ－ｙ^２＋ａｘ＋６ｙ－８＝０が２直線の方程式を表すように定数ａの値を
定め、各直線の方程式を求めよ。
（指針）２直緯の方程式を表すとは、与えられた方程式が
ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０、　ｐｘ＋ｑｙ＋ｒ＝０
という２つの方程式を表すこと。すなわち
（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｐｘ＋ｑｙ＋ｒ）＝０
の形をしていることに注目します。
解答例　　３ｘ^２－２ｘｙ－ｙ^２＝（ｘ－ｙ）（３ｘ＋ｙ）
であるから、与えられた方程式が２直線を表すとすると、方程式の左辺は
３ｘ^２－２ｘｙ－ｙ^２＋ａｘ＋６ｙー８＝（ｚ－ｙ＋ｃ）（３ｘ＋ｙ＋ｒ）　…①
と表される。
①の右辺を展開して左辺と係数を比較すると
ａ＝２、ｃ＝２．　ｒ＝－４　または　ａ＝１０、ｃ＝４、ｒ＝－２
が得られ
ａ＝２のとき　ｘ－ｙ＋２＝０、　３ｘ＋ｙ－４＝０
ａ＝１０のとき　ｘ－ｙ＋４＝０、　３ｘ＋ｙ－２＝０

　　２つの円の交点と他の１点を通る円の方程式

(問２）異なる２点Ｐ，Ｑで交わる２つの円

ｘ^２＋ｙ^２＋ａ_１ｘ＋ｂ_１ｙ＋ｃ_１＝０…①

ｘ^２＋ｙ^２＋ａ_２ｘ＋ｂ_２ｙ＋ｃ_２＝０…②

の交点と点Ａ（ｍ、ｎ）を通る円の方程式を求めよ。

ただし、２つの円は異なる２点で交わり、Ａ点は２つの円上にないものと

する。

解説：この問題の解答に当たって多くの生徒さんが、①、②から

２円の交点を求め、

それと点Ａの３点を通る円の方程式を求めようとします。確かにこの方法で

解くことができますが、計算が煩雑で時間がとてもかかります。

この問題をスマートに解く方法があります。次式

（ｘ^２＋ｙ^２＋ａ_１ｘ＋ｂ_１ｙ＋ｃ_１）＋ｋ（ｘ^２＋ｙ^２＋ａ_２ｘ　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｂ_２ｙ＋ｃ_２）＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…③

を考えてみて下さい。

③式をよく見ると、２円の交点は③式を満たすことがわかりま

す。こうとおｋ≠－１のとき③式は円の方程式であることもわかります。

ということは、点Ａの座標ｘ＝ｍ、ｙ＝ｎを代入して③式を満

たすｋの値を求め、そのｋの値を③に代入すると求める円の

方程式が得られます。この方法を理解すると忘れることはない

でしょう。